重访听音辩鼓问题  

THE ISO-SPECTRAL PROBLEM,REVISITED IN PLANAR CASE

作　　者：刘小会 曹建文[1] 张娅 

机构地区：[1]中国科学院软件研究所,北京100190 [2]中国科学院大学,北京100190

出　　处：《计算数学》2018年第1期63-84,共22页Mathematica Numerica Sinica

基　　金：国家自然科学基金(91430214,91230109,11301507)资助项目

摘　　要：听音辨鼓这个反问题发展至今已经半个世纪，许多数学和物理学家都做出了很多有益的贡献．这个挑战性问题由美国数学家M．Kac1966年正式提出，用数学语言描述为欧几里得空间中，是否可以找到两个（或更多）非等距单连通区域是等谱的？C．Gordon等人1992年在二维平面上给出一对等谱区域，首次对Kac的问题说“No”．问题发展至今，只有17类平面等谱区域．它们都遵循一系列镜像反演规则，成对等谱，保持反演规则不变，改变基本构建块的形状，可以形成无穷多同类的等谱对．本文重访17类等谱区域，探究构建块之间的镜像反演规则．通过折叠方法，建立17类等谱区域特征函数之间的迁移映射关系．结合符号计算，列出17类等谱区域移植矩阵的通解．此外，利用Bernstein—Bezier多项式，计算等谱区域的广义特征值．＂Can one hear the shape of a drum？＂ was proposed by Kac in 1966. In mathematical word, this question deduces to ＂is it possible to find two （or more） non-isometric Euclidean simply connected domains for which the sets of eigenvalues are identical？＂. It wasn＇t until 1992 that C. Gordon et al. answered negatively by finding a pair of non-isometric pla- nar domains with the same Laplace spectrum. Still, there are essentially only 17 families of examples that say no to Kac＇ s question. This paper revisits the serials of reflection rule inherent in the 17 families of iso-spectral domains. By the method of paper-folding, we construct transplantation mapping of the 17 iso-spectral pairs. With the technique of symbolic calculation, we also obtain the transplantation matrix of the 17 iso-spectral pairs. Moreover, after utilizing the Bernstein-B@zier patches, the approximated eigenvalues of some iso-spectral pairs are calculated.

关 键 词：17类等谱区域 镜像反演规则 折叠方法 移植矩阵 

分 类 号：O186.12[理学—数学]