短区间的并集中整数及其m次幂的差的均值分布  

On the Mean Value Distribution of the Difference Between an Integer and Its m-th Power over Unions of Short Intervals

作　　者：王晓瑛 曹艳梅 Xiao Ying WANG;Yan Mei CAO(School of Mathematics,Northwest University,Xi＇an 710127,P.R.China)

机构地区：[1]西北大学数学学院

出　　处：《数学学报（中文版）》2018年第6期943-950,共8页Acta Mathematica Sinica：Chinese Series

基　　金：国家自然科学基金资助项目(11571277);陕西省工业科技攻关项目(2016GY-077)

摘　　要：本文研究了短区间的并集中整数及其m次幂的差的均值分布问题，给出了渐近公式.具体来说，设p是奇素数，1 ≤ H ≤ p，实数δ满足0 〈 δ ≤ 1，整数m ≥ 2.设I^（j）是（0，p）的互不相交的子区间，1 ≤ j ≤ J，满足H/2 ≤｜I^（j）｜≤ H，以及（y）p表示y在模p下的非负最小剩余.定义I=∪j^J=I^（j），并设χ是模p的Dirichlet非主特征.证明了 Σ x∈1 ｜x-（x^m）p｜〈δp 1=1/p∫0^[δp] （Σ x∈1 x≤p-1-t 1＋Σ x∈1 x≥t=1 1）dt＋O（mJ^1/2p^1/2log^2 plog H）, 以及 Σ x∈1 ｜x-（x^m）p｜〈δp X（x）〈〈mJ^1/2p^1/2log^2 plog H.We study the mean value distribution of the difference of an integer and its m-th power over unions of short intervals, and give some asymptotic formulas. For details, let p be an odd prime, 1 ≤ H ≤ p, 0 〈 δ ≤ 1 be any fixed real number, and m ≥ 2 be integers. Let I^（j） be disjoint subintervals of （0, p）, 1 ≤ j ≤ J, satisfying H/2 ≤ ｜I^（j）｜ ≤ H, and let （y）p denote the non-negative least residue of y modulo p.Define I=∪j^J=I^（j）, and let χ be the Dirichlet character modulo p. We prove that Σ x∈1 ｜x-（x^m）p｜〈δp 1=1/p∫0^[δp] （Σ x∈1 x≤p-1-t 1＋Σ x∈1 x≥t=1 1）dt＋O（mJ^1/2p^1/2log^2 plog H）, , and Σ x∈1 ｜x-（x^m）p｜〈δp X（x）〈〈mJ^1/2p^1/2log^2 plog H.

关 键 词：整数及其m次幂 二项指数和 短区间 特征 

分 类 号：O156.4[理学—数学]