On Self-dual 4-dimensional Pseudo-Riemannian Manifolds  

关于自对偶4维伪黎曼流形

作　　者：WANG Ke WU Yingyi 王珂;吴英毅(中国科学院大学数学科学学院,北京100049;洛阳师范学院数学科学学院,河南洛阳471934)

机构地区：[1]School of Mathematical Sciences,University of Chinese Academy of Sciences,Beijing,100049,P.R.China [2]Faculty of Mathematical Sciences,Luoyang Normal University,Luoyang,Henan,471934,P.R.China

出　　处：《数学进展》2024年第6期1314-1332,共19页Advances in Mathematics（China）

基　　金：Supported by the Project of Stable Support for Youth Team in Basic Research Field,CAS(No.YSBR-001)。

摘　　要：For a 4-dimensional Riemannian manifold(M,g),Atiyah et al.in[Proc.Roy.Soc.London Ser.A,1978,362(1711):425-461]used the kernel of twistor operator D to construct a distribution V(D)on the dual bundle of the anti-self-dual spinor bundle on M.Now V(D)forms an almost complex structure on dual bundle.Moreover,they showed that this almost complex structure is integrable if and only if M is self-dual.In this paper,we extend the construction of V(D)to 4-dimensional pseudo-Riemannian manifolds of signature(2,2).And we give a new method to prove the curvature condition in the integrability condition of V(D).Using this new method,we study the integrability conditions and structure of V(D)when the signature of g is(2,2).对于一个4维黎曼流形(M,g),Atiyah等人在[Proc.Roy.Soc.London Ser.A,1978,362(1711):425-461]中利用扭算子D的核,构造出M上的反自对偶旋量丛的对偶丛上的一个分布V(D).此时V(D)构成了对偶丛上的一个近复结构.进一步,他们证明这个近复结构可积,当且仅当(M,g)自对偶.在这篇文章中,我们将V(D)的定义推广到符号为(2,2)的4维伪黎曼流形上,并且给出了V(D)的可积性条件中的曲率条件一个新的证明方法.利用这个新方法,研究了当g的符号为(2,2)时V(D)的可积性条件和结构.

关 键 词：SELF-DUAL pseudo-Riemannian manifold almost complex structure twistor space 

分 类 号：O186.1[理学—数学]