全局渐近稳定性的Jacobi猜想的证明  

作　　者：陈彭年[1] 贺建勋[2] 秦化淑[3] 

机构地区：[1]中国计量学院基础部,杭州310034 [2]厦门大学系统科学系,厦门361005 [3]中国科学院系统科学研究所,北京100080

出　　处：《科学通报》1996年第14期1265-1268,共4页Chinese Science Bulletin

基　　金：国家自然科学基金;福建省自然科学基金

摘　　要：设f∈C^1(R^2,R^2),f(o)=0.考虑平面微分方程x=f(x) (1)很久以来人们猜测:如果(?)x∈R^2,f的Jacobi矩阵Df(x)的特征值都具有负实部,则微分方程(1)的零解全局渐近稳定.在文献中,此猜想被称为Jacobi猜想或平面Markus-Yamabe猜想.1963年,Olech证明此猜想等价于f的全局单射性.1988年,Meisters和Olech证明,当f是多项式映射时,Jacobi猜想成立.1991年Gassull,Llibre和Sotomayor证明,当f是Khovansky函数(一类解析函数)时,Jacobi猜想成立.本文对一般情况证明了Jacobi猜想成立.1 预备知识设S^k(R^2,R^2)={f∈C^k(R^2,R^2)|(?)_x∈R^2,Df(x)是稳定矩阵},k=1,2,…, ∞ .设f∈S~∞(R^2,R^2),则(?)_x∈R^2,Lyapunov矩阵方程Df(x)G(x)十G(x)(Df(x))~T=-I_2 (2)有唯一正定解G(x),其中I_2为2×2单位阵.显然G∈C~∞(R^2,R^(2×2)).定义微分方程(?)y=G(y)ν,ν∈R^2, (3)y(0)=x,

关 键 词：平面微分方程 全局渐近稳定性 Jacobi猜想 

分 类 号：O175.13[理学—数学]