关于最大公因子封闭集上的幂LCM矩阵的注记  

Remarks on power LCM matrices on gcd-closed sets

作　　者：李懋[1] 

机构地区：[1]西南大学数学与统计学院,重庆400715

出　　处：《四川大学学报（自然科学版）》2007年第4期779-781,共3页Journal of Sichuan University(Natural Science Edition)

基　　金：西南大学青年基金(SWUQ2006027)

摘　　要：设S={x1,…,xn}是由n个不同正整数组成的集合,e是一个实数.如果对所有的1≤i,j≤n,有(xi,xj)∈S,则称S是最大公因子封闭的(GCD-closed).第i行j列元素由xi和xj的最小公倍数的e次幂[xi,xj]e构成的n×n阶矩阵([xi,xj]e)称为定义在S上的e次幂LCM矩阵.作者证明了如果e≥1并且n≤7,那么定义在最大公因子封闭集S上的幂LCM矩阵([xi,xj]e)是非奇异的,从而证明了洪绍方教授2004年提出的一个猜想当n≤7,e≥1时是正确的.Let S= {x1,…,xn} be a set of n distinct positive integers. The set S is said to be greatest common divisor closed （GCD-closed） if （xi ,xj） ∈ S for all 1≤i ,j≤n. The matrix having the e-th least common multiple （LCM）[ xi, xj ] of xi and xj as its i ,j-entry is called the LCM matrix, denoted by（ [ xi, xj ] e）. The author shows that for any real number e ≥1 and n≤7, the power LCM matrix （[xi, xj ]e） defined on any GCD-closed set S = {x1 ,……, xn } is nonsingular. This confirm a conjecture raised by Prof. Hong in 2004 when n 47 and e≥l.

关 键 词：最大公因子封闭集 最大型因子 (幂)LCM矩阵 非奇异 

分 类 号：O156.1[理学—数学]