Morse指数与含Grushin算子的Liouville型定理  

Morse index and Liouville type theorems for elliptic equation involving Grushin operator

作　　者：赵晓军[1] 王小华[2] 余晓辉[3] 

机构地区：[1]北京大学经济学院,北京100871 [2]中央财经大学中国经济与管理研究院,北京100081 [3]深圳大学中国海外利益研究中心,深圳518060

出　　处：《中国科学：数学》2014年第6期711-718,共8页Scientia Sinica：Mathematica

基　　金：国家自然科学基金(批准号:11201500和11101291);中央财经大学科研创新团队支持计划资助项目

摘　　要：本文研究退化椭圆型方程-Δxu-(α+1)2|x|^(2α)Δyu=|u|^(p-1)u,(x,y)∈Rm×Rk和方程-Δxu-(α+1)2|x|^(2α)Δyu=|u|^(p-1)u,(x,y)∈Π的Liouville型定理,其中-Δx-(α+1)2|x|^(2α)Δy是Grushin算子,Π={(x,y)∈Rm×Rk:x1>0}或{(x,y)∈Rm×Rk:y1>0}.本文将证明,当1<p<(Q+2)/(Q-2)时,上述方程Morse指数有限的有界解只有零解,其中Q=m+(α+1)k为齐次空间的维数,因此,本文将Laplace方程的结果推广到含Grushin算子的方程.We study the Liouville type theorems for the following degenerate elliptic equation involving Grushin operator-Δxu-（α ＋ 1）2｜x｜2αΔyu = ｜u｜p-1u,（x, y） ∈ Rm× Rk and-Δxu-（α ＋ 1）2｜x｜2αΔyu = ｜u｜p-1u,（x, y） ∈ Π, where-Δx-（α ＋ 1）2｜x｜2αΔy is the Grushin operator, Π = {（x, y） ∈ Rm× Rk： x1 ＆gt; 0} or {（x, y） ∈ Rm× Rk： y1 ＆gt; 0}. If 1 ＆lt; p ＆lt;（Q＋2）/（Q-2）, we will prove that the only bounded solution with finite Morse index is u ≡ 0, where Q = m ＋（α ＋ 1）k is the homogenous dimension for Grushin operator. Hence, we extend the result from the Laplacian equation to Grushin equation.

关 键 词：Grushin算子 Morse指数 LIOUVILLE型定理 

分 类 号：O175.25[理学—数学]