关于矩阵幂和的Newman问题  

ON NEWMAN'S PROBLEM OF POWER SUMS OF MATRICES

作　　者：陆佩忠[1] 

机构地区：[1]成都电信技术研究所

出　　处：《数学杂志》1991年第3期335-345,共11页Journal of Mathematics

摘　　要：M.Newman[2]提出以下几个未解决的问题:(1)在 F_2上,确定全体 n 阶平方次幂矩阵的数目。(2)在整数环上,对任意的 n,确定最小的整正数 M(n),使任一 n 阶方阵都可表示成 M(n)个平方次幂矩阵之和。(3)把以上问题推广到高次幂。本文分别讨论上述问题,得到如下结果:(1)给出全体平方矩阵计数公式。(2)对任一整数矩阵,若它可以有理标准化,则可表示成4个平方次矩阵之和。这与数论中著名的 Lagrange 定理[4]相吻合。(3)在域 F_p 上,任一 n 阶方阵都可表示2个 p 次幂矩阵之和。M.Newman(1985[2]) suggested the following open problems:(1) In fieldF_2,determining all the number of squares in nxn matrix ring.(2)In integerring,determining the the minimal positive integer M(n),such that,every nxnmatrix can be expressed as sums of M (n) square matrices.(3) Generalizingthese to high power sums.In this paper,we obtain the following result:(1)The formula of the nmber of sauare matrices in F_2.(2)Every integer matrixwhich is similiar to rational standard can be expressed as sums of 4 squareinteger matrices.This is the generalization of Lagrange's Theorem in numbertheory.(3) In field F_p,every nxn matrix can be expressed as sums of 2p-power matrices.

关 键 词：矩阵幂和 Newman问题 整数环 

分 类 号：O151.2[理学—数学]