GCD封闭集上的幂矩阵行列式间的整除性  

Divisibility among determinants of power matrices on gcd-closed sets

作　　者：朱光艳 李懋[2] 谭千蓉 ZHU Guang-Yan;LI Mao;TAN Qian-Rong(School of Education,Hubei Minzu University,Enshi 445000?China;School of Mathematics and Statistics,Southwest University,Chongqing 400715,China;School of Mathematics and Computer Science,Panzhihua University,Panzhihua 617000,China)

机构地区：[1]湖北民族大学教育学院,恩施445000 [2]西南大学数学与统计学院,重庆400715 [3]攀枝花学院数学与计算机学院,攀枝花617000

出　　处：《四川大学学报（自然科学版）》2021年第6期27-32,共6页Journal of Sichuan University(Natural Science Edition)

基　　金：攀枝花学院博士基金(bkqj2019050)。

摘　　要：设a,b,n为正整数,S={x_(1),…,x_(n)}是由n个不同正整数x_(1),…,x_(n)构成的集合.以(S^(a))([S^(a)])表示n×n矩阵,其中第i行j列元为x_(i)和x_(j)的最大公因子(x_(i),x_(j))(最小公倍数[x_(i),x_(j)])的a次幂.本文给出以下结果:若a|b,n≤3,则det(S^(a))|det(S^(b)),det[S^(a)]|det[S^(b)],det(S^(a))|det[S^(b)];若a|b,n≥4,S是n个不同正整数构成的n-3重最大公因子闭集,则det(S^(a))|det(S^(b)),det[S^(a)]|det[S^(b)],det(S^(a))|det[S^(b)];对任意正整数n≥4,存在n-4重最大公因子闭集S,使得det(S)■det(S^2),det[S]■det[S^2],det(S)■det[S^2].所得结果加强和推广了Hong在2003年及Chen和Hong在2020年得到的结果.Let a,b,n be positive integers and S={x_(1),…,x_(n)}be a set of ndistinct positive integers.We denote by(S^(a))(resp.[S^(a)])the n×n matrix having the ath power of the greatest common divisor(resp.the least common multiple)of x_(i) and x_(j) as its(i,j)-entry.In this paper,we prove the following results:If a|band n≤3,then det(S^(a))|det(S^(b)),det[S^(a)]|det[S^(b)],det(S^(a))|det[S^(b)];If a|b,n≥4 and S is an n(-3)-fold gcd-closed set of ndistinct positive integers,then det(S^(a))|det(S^(b)),det[S^(a)]|det[S^(b)],det(S^(a))|det[S^(b)];For any integer n≥4,there is an(n-4)-fold gcd-closed set S of ndistinct positive integers such that det(S)■det(S^(2)),det[S]■det[S^(2)],det(S)■det[S^(2)].Our results extend Hong’s theorem in 2003 and the theorems of Chen and Hong in 2020.

关 键 词：整除 最大公因子幂矩阵 最小公倍数幂矩阵 最大公因子闭集 r重最大公因子闭集 

分 类 号：O156.1[理学—数学]