β-变换中一致丢番图逼近问题的维数理论  

Dimension Theory of Uniform Diophantine Approximation Related to Beta-Transformations

作　　者：吴万楼 郑丽璇 Wu Wanlou;Zheng Lixuan(School of Mathematics and Statistics,Jiangsu Normal University,Jiangsu Xuzhou 221116;Department of Statistics and Mathematics,Guangdong University of Finance and Economics,Guangzhou 510320)

机构地区：[1]江苏师范大学数学与统计学院,江苏徐州221116 [2]广东财经大学统计与数学系,广州510320

出　　处：《数学物理学报（A辑）》2022年第4期978-1002,共25页Acta Mathematica Scientia

基　　金：国家自然科学基金(12001245);江苏省自然科学基金(BK20201025);广东省自然科学基金(2020A151-5110910)。

摘　　要：令T_(β)(其中β>1)为定义在区间[0,1)上的β-变换.该文研究了T_(β)中轨道具有一致丢番图逼近性质的点组成的集合的分形维数,具体而言,对两个给定的正函数ψ_(1)、ψ_(2):N→R^(+),定义L(ψ_(1)):={x∈[0,1]:T_(β)^(n)x<ψ_(1)(n),对无穷多个n∈N},u(ψ_(2)):={x∈[0,1]:?N>>1,?n∈[0,N],s.t.T_(β)^(n)x<ψ_(2)(N)},其中>>表示足够大.该文计算了集合L(ψ_(1))∩u(ψ_(2))的豪斯道夫维数.作为推论,该文还得到了集合u(ψ_(2))的豪斯道夫维数.该文将文献[4]中的结果进行了一般化,文献[4]中的函数ψ_(1),ψ_(2)仅仅是指数函数.Forβ>1,let T_(β)be theβ-transformation defined on[0,1).We study the sets of points whose orbits of T_(β)have uniform Diophantine approximation properties.Precisely,for two given positive functionsψ_(1),ψ_(2):N→R^(+),define L(ψ_(1)):={x∈[0,1]:T_(β)^(n)x>1,?n∈[0,N],s.t.T_(β)^(n)x<ψ_(2)(N)},where》means large enough.We calculate the Hausdorff dimension of the set L(ψ_(1))∩u(ψ_(2)).As a corollary,we obtain the Hausdorff dimension of the set u(ψ_(2)).Our work generalizes the results of[4]where only exponential functionsψ_(1),ψ_(2)were taken into consideration.

关 键 词：β-变换 一致丢番图逼近 豪斯道夫维数 

分 类 号：O211[理学—概率论与数理统计]