关于欧拉函数φ的前n项和  

On the Sum of the First n Values of the Euler Functionφ

作　　者：徐新月 吕晓东[1] XU Xin-yue;L Xiao-dong(School of Mathematical Sciences,Yangzhou University,Yangzhou 225002,China)

机构地区：[1]扬州大学数学科学学院,江苏扬州225002

出　　处：《数学的实践与认识》2023年第12期261-265,共5页Mathematics in Practice and Theory

基　　金：国家自然科学基金青年基金(12101538);江苏省高校自然科学研究面上项目(18KJB110032)。

摘　　要：令φ(n)表示欧拉函数.即表示小于等于n且与n互素的正整数个数.欧拉函数是重要的算术函数.对欧拉函数的前n项和的研究也是一项重要的工作,记n≥3并且c>2.用[x]来表示实数x的整数部分.令a_(n)=∑_(l=1)^(n)φ(l)/[n(logn)^(c)].采用指数和估计的方法.可以证明对几乎所有的正整数n,a_(n)均不是整数.换句话说,可以证明集合{n≤N:a_(n)∈Z}的渐进密度为0.Letφdenote Euler totient function,namely the number of positive integers less than or equal to n and coprime to n.Euler function is an important arithmetic function,and the study of the sum of the first n values ofφ(n)is a popular topic.For n≥3 and c>2,let[x]denote the integer part of real number x and a_(n)=∑_(l=1)^(n)φ(l)/[n(log n)^(c)].By using estimation of exponential sum,we can prove for almost all positive integer n,a_(n) is not an integer.In other words,we show that the set{n≤N:a_(n)∈Z}is of asymptotic density zero.

关 键 词：欧拉函数 渐进密度 指数和 

分 类 号：O156[理学—数学]