Hilbert类多项式在素域F_(p)上的分解  

Factorization of Hilbert class polynomials over prime nite elds F_(p)

作　　者：李加宁 李宋宋 欧阳毅 Jianing Li;Songsong Li;Yi Ouyang

机构地区：[1]山东大学数学与交叉科学研究中心,青岛266237 [2]山东大学教育部非线性期望前沿科学中心,青岛266237 [3]上海交通大学电子信息与电气工程学院,上海200240 [4]中国科学技术大学数学科学学院,合肥230026 [5]合肥国家实验室,合肥230088

出　　处：《中国科学：数学》2024年第9期1265-1282,共18页Scientia Sinica：Mathematica

基　　金：科技创新2030—“量子通信与量子计算机”重大项目(批准号:2021ZD0302902);安徽省量子信息先导项目(批准号:AHY150200);国家自然科学基金(批准号:2020YFA0712300,123031011,12001510和12371013);山东省自然科学基金(批准号:ZR202111170066)资助项目。

摘　　要：设D为模4余0或1的负整数,令O=O_(D)为虚二次域K=q(√D)中判别式等于D的序.熟知Hilbert类多项式HD(x)是O的j不变量j_(D)=j(C/O)在K上的最小多项式.令n_(D)=(O_(Q(j_(D))):Z[j_(D)])表示Z[j_(D)]在Q(j_(D))的整数环O_(Q(j_(D)))中的指数.设p为任意素数.如果p|n_(D),或者者p|D在K中惯性且n_(D)的p-进离散赋值v_(p)(n_(D))≤3,则本文完全确定了H_(D)(x)在多项式环F_(p)[x]中的因式分解.Let D be a negative integer congruent to 0 or 1(mod 4)and O=O_(D)be the corresponding order of K=q(√D).The Hilbert class polynomial HD(x)is the minimal polynomial of the j-invariant j_(D)=j(C/O)of O over K.Let n_(D)=(O_(Q(j_(D))):Z[j_(D)])denote the index of Z[j_(D)]in the ring of integers O_(Q(j_(D)))of Q_((j_(D))).Suppose p is any prime.We completely determine the factorization of HD(x)in Fp[x]if either p|n_(D)or p|D is inert in K and the p-adic valuation v_(p)(n_(D))≤3.

关 键 词：Hilbert类多项式 虚二次序 超奇异椭圆曲线 j-不变量 自同态环 

分 类 号：O174.14[理学—数学]