调和数展开式的余项之和  

Sum of the Remainder in the Harmonic Number Expansion

作　　者：韩学锋 陈超平 HAN Xue-feng;CHEN Chao-ping(School of Mathematics and Informatics,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454003,China)

机构地区：[1]河南理工大学数学与信息科学学院,河南焦作454003

出　　处：《数学的实践与认识》2024年第11期228-237,共10页Mathematics in Practice and Theory

基　　金：河南省高等学校重点科研项目(20B110007);河南省高校基本科研业务费专项资金资助(NSFRF210446)。

摘　　要：设γ表示Euler-Mascheroni常数,m≥1是一个给定的整数,定义数列{ε_(n)(m)}_(n)^(∞)如下:ε_(n)(m)=γ+lnn+1/2n-∑_(κ=1)^(n)1/κ-∑_(κ=2)^(m)A_(κ)/n(n+1)…(n+κ-1)(空和理解为零).这里Aκ=1/κ∫_(0)^(1)x(1-x)(2-x)…(κ-1-x)dx,κ≥2.文章证明了∑_(n=1)^(∞)ε_(n)=ln√2π-1+γ、2-∑_(κ=2)^(m)Aκ/(κ-1)Γ(κ).此外,还证明了∑_(n=1)^(∞){∑_(κ=1)^(n)1/κ-ln(n+1/2)}=1/2-3/2ln2+γ.Letγdenote Euler-Mascheroni constant,and let m≥1 be a given integer.Define the sequence{ε_(n)(m)}_(n)^(∞)by ε_(n)(m)=γ+lnn+1/2n-∑_(κ=1)^(n)1/κ-∑_(κ=2)^(m)A_(κ)/n(n+1)…(n+κ-1)(an empty sum is understood to be zero),where Aκ=1/κ∫_(0)^(1)x(1-x)(2-x)…(κ-1-x)dx,κ≥2.This paper proves that ∑_(n=1)^(∞)ε_(n)=ln√2π-1+γ、2-∑_(κ=2)^(m)Aκ/(κ-1)Γ(κ).Also,we prove that ∑_(n=1)^(∞){∑_(κ=1)^(n)1/κ-ln(n+1/2)}=1/2-3/2ln2+γ.

关 键 词：调和数 Euler-Mascheroni常数 余项 

分 类 号：O156[理学—数学]