2500年研究探寻相亲数(英文)  

2500 Years in the Search for Amicable Numbers

作　　者：颜松远[1] 

机构地区：[1]南开大学,天津300071

出　　处：《数学进展》2004年第4期385-400,共16页Advances in Mathematics（China）

摘　　要：设σ(n)为n的所有正因子(包括1和n本身在内)之和.正整数对(m,n)被称之为相亲数(或双亲数,因为这种数总是成双成对出现的)如果他们满足:σ(m)=σ(n)=m+n.如果m=n,σ(m)=2m,则m被称之为完全数(或单亲数,因为这种数总是单独出现的).更一般的,如果k个(k>2)正整数(m1,m2,…,mk)满足下列条件:σ(m1)=m1+m2,σ(m2)=m2+m3,σ(mk)=mk+m1.则这k个正整数被称之为多亲数.第一对相亲数(220,284)是在2500年前的古希腊数学家毕达哥拉斯发现的.不过迄今为止,人们对相亲数的情况、尤其对相亲数的分布情况仍然知之甚少.与相亲数有关的难题、尤其是悬而未决千百年的难题还很多.就是在今天,我们仍然不知道是不是有无穷多对相亲数,我们甚至连一个生成相亲数的充分必要条件(定义除外)都没有.在这篇文章中,我们试图给出人类在2500年的漫长历史长河中研究、探寻相亲数的大致情况与重要结果,并着重介绍从古至今生成相亲数的各种数值方法与代数方法.完全数的研究探寻史几乎与相亲数的研究探寻史是一样长的.比如2350年前的古希腊数学家欧几理德就在其数学名著《几何原本》中列出了前四个完全数.不过迄今为止,人们总共也只找到39个完全数,并且这些完全数还都是偶完全数.至于有没有奇完全数的存在。Although the first amicable pair (220,284) was discovered by the legendary Pythagoras 2500 years ago, we still do not know if there are infinitely many amicable pairs, we even do not have a general rule to produce the amicable numbers. Nevertheless, great progress has been made in recent years. In this paper, we shall review the long history of the search for amicable numbers, and discuss the methods (from ancient to modern) for generating these numbers. Added in proof: up to date(25march, 2004), 40 perfect numbers and 6262871 amicable pairs have been-found.

关 键 词：正因子 相亲数 完全数 多亲数 计算数论 

分 类 号：O156.1[理学—数学]