Signature算子的局部指标定理的非直接证明  

On the Local Indesx Theorem of Signature Operator:the Indirect Proof

作　　者：虞言林[1] 

机构地区：[1]中国科学院数学研究所

出　　处：《北京大学学报（自然科学版）》1994年第3期289-297,共9页Acta Scientiarum Naturalium Universitatis Pekinensis

基　　金：基金委天元基金; 中国科学院数学物理基金

摘　　要：１９６７年Ｍｃｋｅａｎ－Ｓｉｎｇｅｒ￣［２］把局部指标定理作为一个猜测提了出来。１９７１年Ｐａｔｏｄｉ￣［３，４］一举证明了ｄｅＲｈａｍ－Ｈｏｄｇｅ算子，Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｒｏｃｈ算子的局部指标定理．１９７３年Ｇｉｌｋｅｙ证出了一个“消去”定理，并且大家都认为Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ算子的局部指标定理是Ｇｉｌｋｅｙ定理的推论，用Ｇｉｌｋｅｙ定理来给出Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ算子的局部指标定理的证明通常称为非直接的证明。直接的证明出现在１９８７年￣［５］．本文将对非直接的证明作些讨论。关于Ｇｉｌｋｅｖ定理（见［１］第２８４页）的本身那是没有疑问的，可是在我们研读有关文献多年并且又和直接的证明作比较之后，怎么也不能明白Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ算子的局部指标定理何以会成为Ｇｉｌｋｅｙ定理的推论，即不明白何以能不费力气地从Ｇｉｌｋｅｙ定理推出Ｓｉｇｎａｔｕｒｅ算子的局部指标定理．这篇文章将对文［６］作进一步说明．我们将分析一个疑问，希望能得到大家的批评和帮助．如果有必要的话，我们还将分析另外一些疑问．In 1967 Mckean-Singer proposed a conjecture of a local index theorem for the Signature operators,and in 1974 Gilkey published a proof for the conjecture,In the proof he took somethings for granted,one of which is an existence of universal polyno-mials for the local index densities.In this paper we skow that it is very difficult to prove the universal property for the polynomials obtained by the heat equation method.So the gap in the Gilkey’s proof is very serious.

关 键 词：指标算子 微分流形 A-S指标定理 

分 类 号：O189.33[理学—数学]