广义超特殊p-群的自同构群Ⅲ  

The Automorphism Group of a Generalized Extraspecial p-group Ⅲ

作　　者：王玉雷[1] 刘合国[2] 

机构地区：[1]河南工业大学数学系,郑州450001 [2]湖北大学数学与计算机科学学院,武汉430062

出　　处：《数学年刊（A辑）》2011年第3期307-318,共12页Chinese Annals of Mathematics

基　　金：国家自然科学基金(No.10971054);河南省教育厅自然科学基金(No.2011B110011);河南工业大学科研基金(No.10XZZ011);河南工业大学引进人才专项基金(No.2009BS029)资助的项目

摘　　要：确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.设|G|=p^(2n+m),|■G|=p^m,其中n≥1,m≥2,Aut_fG是AutG中平凡地作用在Frat G上的元素形成的正规子群,则(1)当G的幂指数是p^m时,(i)如果p是奇素数,那么AutG/AutfG≌Z_((p-1)p^(m-2)),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,p)×Zp.(ii)如果p=2,那么AutG=Aut_fG(若m=2)或者AutG/AutfG≌Z_(2^(m-3))×Z_2(若m≥3),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,2)×Z_2.(2)当G的幂指数是p^(m+1)时,(i)如果p是奇素数,那么AutG=〈θ〉■Aut_fG,其中θ的阶是(p-1)p^(m-1),且Aut_f G/Inn G≌K■Sp(2n-2,p),其中K是p^(2n-1)阶超特殊p-群.(ii)如果p=2,那么AutG=〈θ_1,θ_2〉■Aut_fG,其中〈θ_1,θ_2〉=〈θ_1〉×〈θ_2〉≌Z_(2^(m-2))×Z_2,并且Aut_fG/Inn G≌K×Sp(2n-2,2),其中K是2^(2n-1)阶初等Abel 2-群.特别地,当n=1时,AutfG/InnG≌Zp.In this paper,the automorphism group of a generalized extraspecial p-group G is determined,where p is a prime number.Assume that ｜G｜= p^（2n＋m） and ｜ξG｜ = p^m,where n≥1 and m≥2.Let AutfG be the normal subgroup of Aut G consisting of all elements of Aut G which act trivially on Prat G.Then （1） When the exponent of G is equal to p^m, （i） If p is odd,then Aut G/AutfG≌Z（（p-1）p^（m-2）） and AutfG/Inn G≌Sp（2n,p）×Zp. （ii） If p = 2,then Aut G = AutfG（when m = 2） or Aut G/AutfG≌Z（2^（m-3））×Z2（when m≥3）,and AutfG/Inn G≌Sp（2n,2）×Z2. （2） When the exponent of G is equal to p^（m＋1）, （i） If p is odd,then Aut G = θAutfG,whereθis of order（p-1）p^（m-1）,and AutfG/InnG≌K Sp（2n - 2,p）,where K is an extraspecial p-group of order p^（2n-1）. （ii） If p = 2,then Aut G = θ1,θ2 AutfG,where θ1,θ2 = θ1×θ2≌Z（2^（m-2））×Z2, and AutfG/Inn G≌K Sp（2n-2,2）,where K is an elementary abelian 2-group of order 2^（2n-1）. In particular,AutfG/Inn G≌Zp when n = 1.

关 键 词：广义超特殊p-群 中心积 辛群 自同构 

分 类 号：O152[理学—数学]