奇完全数的几个命题  

Several Results on Odd Perfect Numbers

作　　者：朱玉扬[1] 

机构地区：[1]合肥学院数学与物理系,合肥安徽230601

出　　处：《数学进展》2011年第5期595-598,共4页Advances in Mathematics（China）

基　　金：安徽省教育厅自然科学项目(No.KJ2008B249)

摘　　要：本文证明形如3m-1的正整数不是完全数,由此推出当所有的qi≡-1(mod 3)时,奇数n=p~αП_(i=1)~sq_i^(2β_i)若是完全数,那么1/2σ(p~α)必是合数.指出k倍完全数的素因子必须满足一个不等式.运用此不等式证明当a≥n-2时形如a^(2^n)+b^(2^n)"(a>b>0,a,b,n∈N^+)的奇数不是完全数.还指出当a与b都与3互素时,对于任意的正整数m,n,奇数a^(2^n)+b^(2^m)不是完全数.In this paper, we prove the positive integers in the form of 3m - 1 are not perfect numbers. As a result we obtain that 1/2σ（pα） must be composite numbers if odd number n n=p°Пis=1qi2βi are perfect numbers, where qi≡-1（mod 3）. We also show the prime factors of perfect numbers multiplied by k must satisfy an inequation（see Theorem 3）. Using this inequation we prove the odd numbers in the form of a2n ＋ b2n （a 〉 b 〉 0, a, b, n ∈N＋） are not prefect numbers if a ≥ n - 2. In addition, odd numbers a2n ＋ b2n are proved to be not perfect numbers for any positive integers m, n if a and b are prime to 3.

关 键 词：k倍完全数 奇完全数 广义FERMAT数 合数 

分 类 号：O156.1[理学—数学]