广义Reed-Solomon码的深洞  

Deep holes of generalized Reed-Solomon codes

作　　者：张俊[1] 符方伟[1] 廖群英[2] 

机构地区：[1]南开大学陈省身数学研究所,天津300071 [2]四川师范大学数学与软件科学学院,成都610066

出　　处：《中国科学：数学》2013年第7期727-740,共14页Scientia Sinica：Mathematica

基　　金：国家重点基础研究发展计划(973)(批准号:2013CB834204);国家自然科学基金(批准号:10990011;61171082;10990011和60872025);四川省杰出青年学术技术带头人培育计划(批准号:2011JQ0037)资助项目

摘　　要：深洞在广义Reed-Solomon码的译码中发挥重要的作用.最近,Wu和Hong通过循环码对于标准Reed-Solomon码发现了一类新的深洞.本文给出一个简洁的方法,对于一般广义Reed-Solomon码给出新的一类深洞.特别地,对于标准Reed-Solomon码,我们得到了Wu和Hong给出的深洞.对于广义Reed-Solomon码GRSk(Fq,D),Li和Wan研究和刻画了k+1次多项式定义的深洞,并且指出这个问题归结为在有限域中的子集和问题.在偶特征的情形下,利用他们的方法,我们对于一些特殊的Reed-Solomon码得到了更多一类新的深洞.此外,我们研究扩展Reed-Solomon码(即赋值集合为D=Fq)k+2次多项式定义的深洞,并且证明没有k+2次多项式定义的深洞.Deep holes play an important role in the decoding of generalized Reed-Solomon codes. Recently, Wu and Hong found a new class of deep holes for standard Reed-Solomon codes. In the present paper, we give a simple method to obtain a new class of deep holes for generalized Reed-Solomon codes. In particular, for standard Reed-Solomon codes, we got the new class of deep holes. Li and Wan studied deep holes of generalized Reed-Solomon codes GRSk（Fq, D） and characterized deep holes defined by polynomials of degree k ~ 1. They showed that this problem is reduced to be a subset sum problem in finite fields. Using the method of Li and Wan, we obtain some new deep holes for special Reed-Solomon codes over finite fields with even characteristic. ~rthermore, we study deep holes of the extended Reed-Solomon code, i.e., D = Fq and characterize the deep holes defined by polynomials of degree k ＋ 2. And we show that polynomials of degree k ＋ 2 can not define deep holes.

关 键 词：编码理论 REED-SOLOMON码 译码 深洞 乘法特征 二次方程 

分 类 号：TN911.2[电子电信—通信与信息系统]