非线性期望的理论、方法及意义  

Theory,methods and meaning of nonlinear expectation theory

作　　者：彭实戈[1,2] PENG ShiGe

机构地区：[1]山东大学数学学院,济南250100 [2]山东大学高等研究院,济南250100

出　　处：《中国科学：数学》2017年第10期1223-1254,共32页Scientia Sinica：Mathematica

基　　金：国家自然科学基金(批准号:L1624032;11526205和11626247);国家外专局111研究计划;中国科学院和国家自然科学基金委员会交叉学科战略发展研究资助项目

摘　　要：本文是非线性期望理论进展的一个综述,首先给出非线性期望空间的基本定义,并通过非线性期望的表示定理和几个典型的非线性独立同分布(i.i.d.)的例子来说明为什么这个新框架可以广泛地用来分析和计算现实世界(高维)数据背后隐藏的概率和统计分布的不确定性;进而介绍次线性期望空间中两个最重要的统计分布—非线性正态分布和最大分布,以及相应的非线性大数定律和中心极限定理,是新领域的基础性和关键性的突破,其典型的应用就是对于现实的(高维)样本数据的非常简单而深刻的φ-max-mean算法.本文还介绍一个最重要的连续时间随机过程——非线性Brown运动及相关随机分析,包括随机积分、随机微分方程和非线性鞅理论.新的理论框架实质性地推广了Kolmogorov于1933年建立的、以概率测度为核心的概率论公理体系(?,F,P).其关键不同的是,其核心概念是(非线性)期望ê,期望为线性的特殊情形对应着概率论公理体系.正是这种非线性使人们能够对于现实世界中无处不在的概率模型本身的不确定性也能进行定量的分析和计算.从而实质性地放宽了概率统计理论中对于现实世界的随机数据的统计假设要求,本文也因而获得了实际样本数据的非线性分布的φ-max-mean算法,它是一种新的非线性Monté-Carlo算法.This is a survey on the research developments of nonlinear expectation theory.We first recall the basic definition of a space of nonlinear expectation,and then,through the representation theorem and some examples of nonlinear i.i.d.（independent and identically distributed）,to explain why this new framework can be applied to calculate and quantitatively analyze probabilistic and distributional uncertainty hidden behind a real world（possibly high-dimensional） data sequence.Then we introduce two fundamentally important nonlinear normal distribution and maxima distribution and the corresponding nonlinear law of large numbers and nonlinear central limit theorem,which are crucial and fundamental breakthroughs of this new research domain.A typical application is a basic algorithm named ＂φ-max-mean＂.We also present a basic continuous-time stochastic process—nonlinear Brownian motion and its stochastic calculus,including stochastic integral,stochastic differential equations,and the corresponding nonlinear martingale theory.This new theoretical framework has generalized the axiomatical probability theory founded by Kolmogorov（1933）.The key difference is the notion of nonlinear expectationê,whose special linear case corresponds a probability space（Ω,F,P）.It is the nonlinearity that allows us to quantitatively measure the uncertainty of probabilities and probabilistic distributions inhabited in our real world.

关 键 词：非线性数学期望 非线性正态分布 非线性独立同分布 非线性大数定理和中心极限定理 非线性Brown运动及其随机分析 非线性鞅 非线性Monté-Carlo算法 φ-max-mean算法 

分 类 号：O211.67[理学—概率论与数理统计]