球面上的一类最优运输问题  

A class of optimal transportation problems on the sphere

作　　者：李奇睿 汪徐家 

机构地区：[1]Mathematical Sciences Institute, The Australian National University, Canberra, ACT 2601, Australia

出　　处：《中国科学：数学》2018年第1期181-200,共20页Scientia Sinica：Mathematica

基　　金：澳大利亚研究基金会(批准号：FL130100118)资助项目

摘　　要：本文考虑球面S^n上成本函数为c(x,y)=F(d(x,y))的最优运输问题,其中d(x,y)表示S^n上两点x与y之间的球面距离.重点是说明,即使F仅定义于原点的一个邻域内,在适当条件下仍然可以证明最优映射的存在性和唯一性.特别是当F(d)=log(κcos d-1)(κ>1)和F(d)=log cos d时,相应的最优运输问题分别等价于几何光学中的光线折射问题和凸体几何中的Aleksandrov问题.In this paper, we study the optimal transportation problem on the unit sphere S^n, with the cost function c（x,y） = F（d（x,y））, where d（x,y） is the spherical distance between x,y∈S^n. We allow that F is a bounded function defined only in a subinterval of [0,π], while c takes -∞ when F is not defined. Under some suitable conditions, we show that there is a unique optimal mapping solving the problem. In particular, if F（d） = log（ncosd- 1）, k 〉 1, or F（d） = logcosd, then the associated optimal transportation problem is respectively equivalent to the refractor problem in geometric optics, and the Aleksandrov problem in convex geometry.

关 键 词：最优运输 无界成本函数 凸分析 变分问题 

分 类 号：O224[理学—运筹学与控制论]