同余数问题与椭圆曲线 献给杨乐教授80华诞  

Congruent number problem and elliptic curves

作　　者：田野 Ye Tian

机构地区：[1]中国科学院大学 [2]中国科学院数学与系统科学研究院 [3]中国科学院晨兴数学中心

出　　处：《中国科学：数学》2019年第10期1313-1336,共24页Scientia Sinica：Mathematica

基　　金：国家自然科学基金(批准号:11688101和11531008)资助项目

摘　　要：设n为一个模8余5的正整数,使得n的所有素因子均模4余1且Q(√-n)没有阶为4的理想类.本文引入对n的素因子个数的归纳方法,给出椭圆曲线E(n):ny^2=x^3-x上Heegner点的非平凡性,从而给出n为同余数的证明(定理6.1).本文还综述对同余椭圆曲线的Goldfeld猜想及BSD猜想(Birch和Swinnerton-Dyer猜想)方面的结果.一方面,基于这种归纳方法, Tian等(2017)推广这一结果得到了更多的同余数,再结合Smith (2015)及Heath-Brown (1994),本文证明同余数问题的弱Goldfeld猜想(主定理A).另一方面,基于定理6.1以及Li、Liu和本人(2019)的工作,本文证明完整BSD猜想对椭圆曲线E^(n)成立(主定理B).这样得到了完整BSD猜想对无穷多条秩为1的椭圆曲线成立.Let n be a positive integer congruent to 5 modulo 8.Assume that all prime factors of n are congruent to 1 modulo 4 and that Q(√-n)has no ideal class of order 4.In this article,we prove that n is a congruent number,i.e.,it is the area of a right triangle with rational side-lengths(see Theorem 6.1).Moreover,we also survey results on BSD conjecture and Goldfeld conjecture for congruent elliptic curves ny^2=x^3-x.

关 键 词：同余数 椭圆曲线 BSD猜想 Goldfeld猜想 Heegner点 

分 类 号：G63[文化科学—教育学]