黎曼ζ-函数之二:算子及其指标 献给杨乐先生80华诞  

On the Riemann zeta function,Ⅱ:operators and their indices

作　　者：葛力明 Liming Ge

机构地区：[1]中国科学院数学与系统科学研究院 [2]美国新罕布什尔大学

出　　处：《中国科学：数学》2019年第10期1377-1388,共12页Scientia Sinica：Mathematica

摘　　要：作为Ω={s:Re(s)≥1/2}上的有界函数,s-1/s^2ζ(s)在哈代空间H^2(Ω)上乘积作用诱导的有界线性算子的指标为零的充分必要条件是黎曼假设成立;通过KS-(逆)变换,这一结果对应到希尔伯特空间L^2([1,∞])上的某乘法卷积算子的一个等价命题,该命题的一种离散表述是:算子Aζ=(1/mn{m/n+1})m,n≥1作用在l^2(N)上的指标为零当且仅当黎曼假设成立。对Dirichlet L-函数也有类似结果。应用KS-变换等手段,文章中将给出这些结果的证明细节。On?={s:Re(s)>1/2},s-1/s^2ζ(s)is a bounded analytic function.As a multiplication operator on the Hardy space H2(?),its index vanishes if and only if the Riemann hypothesis holds.Through the(inverse)KS-transform,an equivalent statement is true for certain convolution operator on the Hilbert space L^2([1,∞]).A discrete formulation of such result says that the operator Aζ=(1/mn{m/n+1})m,n>1 has vanishing index on l^2(N)if and only if the Riemann hypothesis is true.Similar results hold for Dirichlet L-functions and corresponding generalized Riemann hypothesis.Detailed proofs are given.

关 键 词：算子指标 KS-变换 L-函数 黎曼假设 

分 类 号：O17[理学—数学]