关于丢番图方程D_1x^2+2~mD_2=y^n的解数  

On the Number of Solutions of the Diophantine Equation

作　　者：乐茂华[1] 

机构地区：[1]湛江师范学院数学系

出　　处：《数学进展》1997年第1期43-49,共7页Advances in Mathematics（China）

基　　金：国家自然科学基金;广东省自然科学基金

摘　　要：设Ｄ１、Ｄ２、ｍ、ｘ、ｙ是适合Ｄ１＞１，Ｄ２＞１，２Ｄ１Ｄ２，ｇｃｄ（Ｄ１，Ｄ２）＝ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１的正整数，ｎ是适合ｎｈ的奇素数，其中ｈ是虚二次域Ｑ（－２ｍＤ１Ｄ２）的类数．本文主要证明了：方程Ｄ１ｘ２＋２ｍＤ２＝ｙｎ至多有５·１０１６组例外解（Ｄ１，Ｄ２，ｘ，ｙ，ｍ，ｎ），而且这些解都满足７ｎ＜８．５·１０６以及ｙｎ＜ｅｘｐ（ｅｘｐ（ｅｘｐ４６））．Let D 1,D 2,m,x,y be positive integers satisfy D 1>1, D 2>1, 2 D 1D 2 and gcd(D 1,D 2)=gcd(x,y)=1. Let n be an odd prime satisfy n h, where h is the class number of the imaginary quadratic field Q( 2 mD 1D 2). In this paper we prove that the equation D 1x 2+2 mD 2=y n has at most 5·10 16 exceptional solutions (D 1,D 2,x,y,m,n). Moreover, all the solutions satisfy 7n<8.5·10 6 and y n< exp ( exp ( exp 46)).

关 键 词：丢番图方程 虚二次域 理想类群 解数 

分 类 号：O156.7[理学—数学]