幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性  

Divisibility properties of determinants of power GCD and determinants of power LCM matrices

作　　者：谭千蓉[1] 李思霖[1] 

机构地区：[1]攀枝花学院计算机学院,四川攀枝花617000

出　　处：《华中师范大学学报（自然科学版）》2009年第4期541-544,共4页Journal of Central China Normal University：Natural Sciences

基　　金：教育部新世纪优秀人才支持计划基金(NCET-06-0785)

摘　　要：设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(S^a)表示.类似定义幂LCM矩阵[S^a].本文证明了:设S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且正整数a|b.如果n≤3,那么det(S^a)|det[S^b];如果,那么det(S^a)|det[S^b].Let S={x1 ,x2 ,… ,xn） be a set of n distinct positive integers and a≥1 an integer. The matrix having the a-th power （xi ,xi）^a of the greatest common divisor of xi and xj as its i,j-entry is called a-th power greatest common divisor （GCD） matrix defined on S, denoted by （S^a）. Similarly we can define the a-th power LCM matrix[S^a]. In this paper, we prove that if Sis a GCD-closed set with ｜S｜≤3 and a ｜b, then det（Sa）[det [Sb]. We also show that if S is a gcd-closed set satisfying max（S）〈12 and a ｜b, then det （S^a） ｜det[S^b].

关 键 词：整除 因子链 最大型因子 幂GCD矩阵 幂LCM矩阵 

分 类 号：O156[理学—数学]