定义在两个互素因子链上的交错Smith矩阵的整除性  

Divisibility of alternating Smith matrices on two coprime divisor chains

作　　者：林宗兵[1] 罗淼[1] 

机构地区：[1]攀枝花学院计算机学院,攀枝花617000

出　　处：《四川大学学报（自然科学版）》2011年第6期1261-1265,共5页Journal of Sichuan University(Natural Science Edition)

基　　金：攀枝花学院计算机学院预研项目(Y2011-04)

摘　　要：设S={x_1,x_1,…,x_n}是n个正整数组成的集合,a是正整数.如果一个n阶矩阵的第i行第j列的元素定义为(-1)^(i+j)(x_i,x_j)~a,其中(x_i,x_j)~a表示S中的元素x_i与x_j的最大公因数的a次幂,则称这个矩阵是定义在S上的a次交错幂GCD矩阵,用(AS^a)表示.类似可定义a次交错幂LCM矩阵[AS^a].作者证明了:设S由两个互素的因子链构成且1∈S时,则(i)若a|b,则det(AS^a)|det(AS^b),det[AS^a]|det[AS^b],det(AS^a)|det[AS^b];(ii)在n阶整数矩阵环M_n(z)中,若a|b,则(AS^a)|(AS^b),[AS^a]|[AS^b],(AS^a)|[AS^b];若a■b,则(AS^a)(?)(AS^b),[AS^a]■[AS^b],(AS^a)■[AS^b].Let S = {x1 ,x2 ,…,xn } be a set of n distinct positive integers and a 〉1 an integer. The matrix having the ath power （-1）i＋j（xi ,xj）a as its （i,j） -entry is called ath power alternating greatest common divisor （GCD） matrix defined on S, denoted by （ASa）, where （xi ,xj）a= （gcd（xi,xj））a. Similarly we can define the ath power alternating LCM matrix [ASa]. In this paper, the authors show the following results are true： assume that S consists of two coprime divisor chains and 1∈S, if a lb, then det（ASa）｜ det （ASb）, det[ASa]｜ det[ASb], det（ASa）｜ det[ASb ] ; if a ｜ b, then in the ring of n by n matrices over integers, （ASa） [ （ASb） ,[ASa] [ ASb],（ASa） [ [ASb]; but such results fail to be true if a｜.b.

关 键 词：整除 因子链 交错幂GCD矩阵 交错幂LCM矩阵 

分 类 号：O156[理学—数学]