关于丢番图方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z  

On the Diophantine Equation (an)~x+(bn)~y=(cn)~z

作　　者：孙翠芳[1] 汤敏[1] SUN Cuifang;TANG Min(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241003, Anhui, China.)

机构地区：[1]安徽师范大学数学计算机科学学院,安徽芜湖241003

出　　处：《数学年刊（A辑）》2018年第1期87-94,共8页Chinese Annals of Mathematics

基　　金：国家自然科学基金(No.11471017);安徽师范大学项目培育基金(No.2012xmpy009;No.2014xmpy11)的资助

摘　　要：设n,a,b,c是正整数,gcd(a,b,c)=1,a,b≥3,且丢番图方程a^x+b^y=c^z只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1).证明了若(x,y,z)是丢番图方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z的正整数解且(x,y,z)≠(1,1,1),则y<z<z或x<z<y.还证明了当(a,b,c)=(3,5,8),(5,8,13),(8,13,21),(13,21,34)时,丢番图方程(an)~x+(bn)~y=(cn)~z只有正整数解(x,y,z)=(1,1,1).Let n, a, b, c be positive integers with gcd（a, b, c） = 1, a, b≥3 and the Diophantine equation a^x ＋b^y = c^z has only the positive integer solution（x, y, z） =（1,1,1）. In this paper,the authors prove that if（x, y,z） is a positive integer solution of the Diophantine equation（an）^x＋（bn）^y=（cn）^z with（x, y, z） ≠（1,1,1）, then y〈z〈x or x〈z〈y. The authors also show that when（a,b,c） =（3,5,8）,（5,8,13）,（8,13,21）,（13,21,34）, the Diophantine equation（an）^x＋（bn）^y=（cn）^z has only the positive integer solution（x, y, z） =（1,1,1）.

关 键 词：JESMANOWICZ猜想 丢番图方程 FIBONACCI序列 

分 类 号：O156[理学—数学]