Ahlfors第二基本定理中等号成立的不可能性 献给杨乐教授80华诞  

The impossibility of the equality in Ahlfors’ second fundamental theorem

作　　者：张广远[1] 孙宗汉 Guangyuan Zhang;Zonghan Sun

机构地区：[1]清华大学数学科学系

出　　处：《中国科学：数学》2019年第10期1445-1462,共18页Scientia Sinica：Mathematica

基　　金：国家自然科学基金(批准号:11531007)资助项目

摘　　要：Ahlfors第二基本定理断言,对于扩充复平面C上任意q(q≥3)个互异点构成的集合Eq,都存在一个最小正常数H0(Eq),使得任意单连通曲面Σ=(f, U)都满足(q-2)A(Σ)-4π#(f^-1(Eq)∩U)≤H0(Eq)L(?Σ),其中A(Σ)是Σ的面积, L(?Σ)是Σ的周长,#表示元素的个数.之前的论文已经证明,上述定理中的等号不可能成立.作为Ahlfors第二基本定理的特殊情形,存在一个最小的正常数h0(Eq),使得每个内部不取Eq的单连通曲面Σ=(f, U)(即要求f(U)?C\Eq),都满足(q-2)A(Σ)≤h0(Eq)L(?Σ).本文证明这个不等式中的等号还是不可能成立(Zhang(2013)已经针对一个特殊情形发现此现象),证明过程又给出了一些其他的结果,回答了我们早先论文未解决的两个问题.Ahlfors’second fundamental theorem claims,for any subset Eq of C,consisting of q(q≥3)distinct points,there is a minimal constant H0(Eq),such that all simply-connected covering surfacesΣ=(f,U)satisfy(q-2)A(Σ)-4π#(f^-1(Eq)∩U)6 H0(Eq)L(?Σ),where A(Σ)is the area ofΣ,L(?Σ)is the perimeter ofΣ,and # denotes the cardinality of a set.In fact,this inequality is strict.Also,there is a minimal constant h0(Eq),such that each simply-connected covering surfaceΣ=(f,U)omitting Eq(i.e.,f(U)?C\Eq),satisfies(q 2)A(Σ)6 h0(Eq)L(?Σ).In this paper,we will prove the strictness of this equality(Zhang(2013)has found this fact in a special case),and the proof of this result just leads to some other related conclusions,which solve two open problems in our earlier paper.

关 键 词：覆盖曲面 等周不等式 球面几何 Ahlfors常数 

分 类 号：O17[理学—数学]