有限秩的幂零群的自同构(Ⅱ)  

On the automorphisms of a nilpotent group of finite rank(Ⅱ)

作　　者：刘合国[1] 张继平[2] 

机构地区：[1]湖北大学数学系,武汉430062 [2]北京大学数学科学学院,北京100871

出　　处：《中国科学：数学》2010年第7期621-640,共20页Scientia Sinica：Mathematica

基　　金：国家基础研究发展规划(批准号:2006CB805904);教育部博士点基金;国家自然科学基金(批准号:10631010;10971054)资助项目

摘　　要：设幂零群G=KP=PK,其中P是有限秩的幂零p-群,K是G的有限秩的p-自由的正规子群,p不属于K的谱Sp(K).设1=ζ0G<ζ1G<···<ζcG=G是G的上中心列,α和β是G的两个p-自同构,把α,β在每个ζiG/ζi-1G上的诱导自同构分别记为αi和βi,又记Ii:=Im(αiβi-βiαi),则(i)如果每个Ii都是有限循环群,并且I:=(αβ(g))(βα(g))-1|g∈G是G的有限子群,那么α和β生成一个有限p-群;(ii)如果Ii或为有限循环群,或为拟循环p-群,或为Zpn⊕Zp∞对某自然数n,那么α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张;(iii)如果Ii或为有限循环群,或为拟循环p-群,或为Zpn⊕Zp∞,或为无挠的局部幂零群,或Ii有正规列1<Ji<Ii,其商因子分别为有限循环群、无挠的局部幂零群,或Ii=Zp∞⊕Ji,Ji为无挠的局部幂零群,或Ii有正规列1<Ki<Ji<Ii,其商因子分别为有限循环群、拟循环p-群、无挠的局部循环群,那么α和β生成一个可解的剩余有限p-群,它的幂零长度至多是3.特别地,当K是一个FC-群时,在情形(iii),α和β生成的群也是有限生成的无挠幂零群被有限p-群的扩张.此外,如果G=KP里,K是一个FC-群,对G的下中心列考虑了类似的问题,得到了"对偶"的结果.Let G be a nilpotent group of finite rank and G = KP,where P is a nilpotent p-group,K is a p-free normal subgroup,and p does not belong to the spectrum of K.Let 1 = ζ0G ζ1G ··· ζcG = G be the upper central series of G,and α and β be two p-automorphisms of G.Furthermore,let αi and βi be two induced automorphisms of α and β on ζiG/ζi-1G.Supposing that αi and βi are almost commutative,then the group generated by α and β has a good nilpotence.

关 键 词：幂零群 有限秩 中心列 自同构 剩余有限性质 

分 类 号：O152.1[理学—数学]