广义四元数群的全自同构群  

Groups of All Automorphisms of Generalized Quaternion Groups

作　　者：王长群[1] 仝允战[1] 

机构地区：[1]郑州大学数学系,郑州450052

出　　处：《郑州大学学报（理学版）》2004年第4期9-12,共4页Journal of Zhengzhou University:Natural Science Edition

基　　金：河南省教育委员会科学研究计划项目;编号 1999110 0 0 2

摘　　要：一个有限群 Q4 n称为广义四元群 ,若 Q4 n=〈a,b|a2 n=1,b2 =an,ab=a- 1 〉,n≥ 3.根据广义四元群 Q4 n的结构和性质 ,利用群的扩张理论 ,先确定了 Q4 p与 Q4 pm的全自同构群的结构 ,由此归纳出一般的广义四元群 Q4 n的全自同构群的结构如下 :设 p1 为 n的最小素因子 ,n=pr1 1 pr22 … prkk 为 n的素数分解 ,那么(a)当 p1 >2时 ,Aut(G) =〈α〉:(〈η1 〉×〈η2 〉×…×〈ηk〉) ;(b)当 p1 =2时 ,Aut(G) =〈α〉:(〈η2 〉×…×〈ηk〉) ,　　　　　　 r1 =1〈α〉:(〈γ〉×〈η2 〉×…×〈ηk〉) ,　　　 r1 =2〈α〉:(〈μ〉×〈ν〉×〈η2 〉×…×〈ηk〉) ,　 r1 ≥ 3.A group Q 4n is said to be a generalized quaternion groups,if Q 4n=〈a,b｜a 2n=1,b2=an,ab=a -1〉,n≥3.According to the property and structure of generalized quaternion groups,using the methods of the extension theory of groups,the groups of all automorphisms of generalized quaternion group Q 4p and Q 4pm for odd prime p are determined,and the general structure of that of Q 4n deduced from that of Q 4p and Q 4pm is as follows:Suppose that p 1 is the smallest prime divisor of n,and n=p r 1 1p r 2 2…p r k k is the prime-decomposition of n.Then (a) if p 1>2,Aut(G)=〈α〉∶(〈η 1〉×〈η 2〉×…×〈η k〉); (b) if p 1=2,Aut(G)=〈α〉∶(〈η 2〉×…×〈η k〉, r 1=1 〈α〉∶(〈γ 2〉×〈η 2〉×…×〈η k〉), r 1=2 〈α〉∶(〈μ〉×〈ν〉×…×〈η 2〉),×〈η k〉 r 1≥3.

关 键 词：自同构群 最小素因子 有限群 四元数 素数 广义 扩张理论 一般 性质 归纳 

分 类 号：O152[理学—数学] O157[理学—基础数学]